PSG-Real Madrid: las matemáticas juzgan el fallido sorteo de la Champions

El sorteo de la Liga de Campeones se repitió tras diversos errores en el primer intento ¿Era necesario? Las matemáticas nos dicen que, para decidirlo, debemos aplicar una ética de principios o de consecuencias. Y que, si todo fue como parece, el enfrentamiento PSG-Real Madrid no tuvo por qué suceder.

Este artículo es una colaboración con Tercer Milenio, suplemento del Heraldo de Aragón, donde fue publicado originalmente.

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El próximo 15 de febrero, el PSG y el Real Madrid jugarán la ida de los octavos de final de la Liga de Campeones. Lo harán merced a un insólito sorteo realizado en diciembre que la organización responsable, tras una serie de errores, decidió repetir. Un sorteo que en principio había emparejado al Madrid con el Benfica portugués y en el que se mezclan ocultos diferentes conceptos de ética con las matemáticas, con espacios de probabilidad e incluso con teorías y fórmulas complementarias nacidas para tratar de demostrar la existencia de Dios.

Todo ello bajo la realidad de que el 15 de febrero habrá un morboso, Mbappé mediante, PSG-Real Madrid. Un cruce que, según la matemática y estadística Anabel Forte y si todo fue como parece, “desde un punto de vista matemático no se debió producir”.

La cosa sucedió así.

El error

El sorteo consistía en emparejar a los equipos que se habían clasificado desde la fase de grupos previa, de forma que un primero de grupo debía jugar contra un segundo. Las únicas normas eran que no podían enfrentarse dos conjuntos que fueran del mismo país o que hubieran compartido grupo anteriormente. Primero se sacaba una bola de un cuenco donde estaban todos los equipos que habían quedado segundos. Después, un software informaba sobre aquellos a los que podía enfrentarse, se cogían las bolas de estos y se ponían en otro recipiente, de donde se escogía una. Pero hubo fallos.

Al acabar el primer intento de sorteo, saltaron las quejas y las alarmas. Tras sacar la bola del Atlético de Madrid, que había quedado segundo de grupo, se seleccionaron las bolas de los cinco equipos contra los que podía jugar y se escogió una, la del Bayern de Múnich. Pero cometieron un error. Hubo quien reparó en que en lugar de la bola del Manchester United se incluyó la del Liverpool, como equivocadamente dictaminó el software, pues el Liverpool ya había jugado en el grupo del Atlético de Madrid. Las quejas se formalizaron y el sorteo se repitió. La pregunta es: ¿había justificación para hacerlo?

Imagen del sorteo fallido

La bola del Manchester United no estaba, en su lugar se introdujo la del Liverpool, pero al fin y al cabo no había salido elegida. El número de bolas era correcto y no había salido, así que intuitivamente nadie había salido perjudicado. ¿O sí?

“El problema está en si consideramos el resultado que se dio o miramos las condiciones iniciales del sorteo”, explica Forte, profesora en la Universidad de Valencia. En principio todos los equipos incluidos debían tener una probabilidad de 1/5 de enfrentarse al Atlético de Madrid. “Pero al incluir la del Liverpool en lugar de la del Manchester debemos aplicar lo que se conoce como teorema de la probabilidad total, que implica que se abren dos espacios de probabilidad”. Si hubiera salido la del Liverpool se tendría que haber repetido la elección sustituyendo esa bola por la del United. De ahí que “la probabilidad de que se diera un cruce Atlético de Madrid-Manchester United antes de sacar ninguna bola era de 1/25, muy inferior a la que tenían los otros equipos”, afirma Forte.

El problema es de índole ética. ¿Tenemos en cuenta las injustas condiciones iniciales y seguimos una ética de principios? ¿O asumimos que, como la bola incorrecta no fue la elegida, la injusticia no se produjo? ¿Optamos entonces más bien por una ética de las consecuencias? (Sería casi como una ética cuántica, donde la visión del observador, la bola escogida, determina la justicia inicial). “Matemáticamente pueden sostenerse las dos posturas”, reconoce Forte, “pero éticamente yo escogería la primera”.

Así se hizo. El sorteo se repitió y al Atlético le tocó, llámenlo Karma aunque no exista, el Manchester United.

De los efectos a Dios

Si la teoría de la probabilidad total tiene en cuenta las condiciones iniciales, uno de los teoremas más importantes y aplicados de la estadística se centra, por el contrario, en sus efectos o consecuencias: en las bolas sacadas en el sorteo. Se llama teorema de Bayes, por el matemático y teólogo que lo ideó, y su propósito inicial fue tratar de demostrar la existencia de Dios a partir de la evidencia del mundo natural.

Alan Turing utilizó el teorema de Bayes para descifrar el código Enigma de los nazis

Aunque no haya servido para su objetivo inicial, el teorema es archiutilizado en situaciones donde queremos saber la probabilidad de cierta causa o cierto suceso si se han producido según qué efectos. Donde la información parece viajar hacia atrás modificando lo que pensamos sobre su origen, sobre las condiciones iniciales (las bolas incluidas en el cuenco). Es lo que hace el médico cuando valora la probabilidad de que una tos sea por un catarro, por la covid o por un cáncer de pulmón (el médico ve los síntomas, no el nombre de la enfermedad que los provoca). Es lo que permite calcular la posibilidad de que un test de antígenos negativo sea o no sea un falso negativo (y esa probabilidad se mueve según el momento y la incidencia en la pandemia). Es un teorema que se ha aplicado para valorar pruebas en juicios, que utilizó Turing para descifrar el código Enigma de los nazis o que ha servido para precisar la edad del universo.

Podría tacharse al teorema de estrictamente consecuencialista, pero sería injusto. Lo que pretende no es quedarse con lo sucedido sino dilucidar las condiciones iniciales cuando solo podemos ver los efectos, como saber si una moneda está trucada pudiendo observar solo las veces que sale cara o cruz. Como si pudiéramos sacar varias bolas en el sorteo de la Champions y a partir de ahí estimar si se habían seleccionado las correctas. (Solo que en este caso solo se saca una, y este año ya sabíamos que la moneda, si no trucada, estaba al menos defectuosa).

Una prueba de que sería injusto considerarlo así es que Bayes y las probabilidades totales pueden convivir. Es lo que sucedía en una prueba del programa “Un, dos, tres” en la que al concursante le pedían escoger una puerta entre tres. Detrás de una de ellas había un coche; detrás de las otras dos, una calabaza. Tras hacerlo el presentador abría una de las dos restantes, donde siempre había una calabaza. Y entonces le ofrecía cambiar de puerta.

¿Lo harías tú?

La intuición lógica lleva a decir que da igual, que la probabilidad es de la mitad en cada una.  Y el orgullo lleva a decir que no, que por quién me toman.

La mejor opción, sin embargo, es cambiar. “Es un problema de probabilidad total, donde la información que tiene el presentador se encuadra dentro del teorema de Bayes. Una vez abierta esa puerta, se abren dos espacios de probabilidad. Si cambiamos la elección, tenemos el doble de posibilidades de ganar el coche”.

La clave está en pensar “a posteriori” de que actué el presentador, que elige sabiendo dónde hay una calabaza. Si cada puerta tenía una probabilidad de 1/3 de esconder el coche, esta no ha cambiado detrás de la nuestra. Sin embargo, los 2/3 restantes se han acumulado tras la otra que aún permanece cerrada.

Problema de Monty Hall. Wikipedia

 

Si no lo ha entendido bien, ponga en el buscador “problema de Monty Hall”, llamado así por el presentador que lo popularizó usando cabras en lugar de calabazas.

¿Y el PSG- Real Madrid?

Además del error con el Atlético de Madrid sucedió otro anteriormente. En las bolas que debían decidir el rival del Villarreal se añadió una que no correspondía, la del Manchester United, que fue la elegida. Al ver el error se repitió el sorteo de ese cruce, “aunque ese fallo no afecta como en el caso del Atlético, porque en este caso todos los equipos correctos estaban incluidos y tuvieron la misma probabilidad en el global”, precisa Forte. En cualquier caso, los errores fueron varios, y el sorteo se volvió a celebrar por completo.

Mbappé tendrá que jugar en el Bernabéu

Las quejas vinieron entonces del entorno del Real Madrid, cuyo cruce se había elegido en primer lugar. ¿Por qué repetir el sorteo entero y no a partir del momento en que se objetivaron los fallos? La UEFA, la organización que lo coordinaba, emitió un comunicado. Dijo: “A raíz de un problema técnico con el software de un proveedor de servicios externo que da instrucciones a los oficiales sobre qué equipos son elegibles para jugar entre sí, se produjo un error material en el sorteo de los octavos de final de la UEFA Champions League. Como consecuencia de ello, el sorteo ha sido declarado nulo y será repetido en su totalidad a las 15:00”. Su presidente, Ceferin, añadió después que “no se sabía exactamente cuándo se había producido el error”.

Pero en las imágenes parece apreciarse que no hubo ningún fallo en el primer cruce. El Benfica podía jugar contra todos los equipos primeros de grupo salvo contra el Bayern de Múnich, y en las imágenes parece que todas las bolas se introdujeron correctamente. “Si es así”, se le vuelve a preguntar a Forte, “esa parte del sorteo no era necesario repetirla”.

El 15 de febrero, PSG-Real Madrid. El 9 de marzo, la vuelta.

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